Hurwitz-Kriterium [Bearbeiten]Aus den Koeffizienten des Polynoms bilden wir zunächst die Determinante der n×n-Hurwitz-Matrix, die sogenannte Hurwitz-Determinante:
Nicht vorhandene Koeffizienten werden also durch eine Null ausgedrückt. Das Polynom ist genau dann ein Hurwitz-Polynom, wenn alle "nordwestlichen Unterdeterminanten" (auch Hauptminoren genannt) positiv sind. Die Matrix ist dann positiv definit. Was bedeutet das? Bilden wir zunächst die nordwestliche Unterdeterminanten für den Fall n = 3:
(Entwicklung nach 3. Zeile, 3. Spalte!!!)
Mit unseren Vorüberlegungen zur notwendigen Bedingung ergibt sich also für n = 3 die zusätzliche Forderung a2a1 > a0a3. Diese ist für a0 = a1 = a2 = a3 = 1 nicht erfüllt.
Diese Vorgehen ("Verschieben" und "Auffüllen") wird so lange wiederholt, bis eine quadratische (n,n)-Matrix entstanden ist.
In der Literatur finden sich auch andere Definitionen der Hurwitzmatrix. Die Koeffizienten sind meist einfach anders benannt. Nicht zuletzt Hurwitz selber hat in seiner Veröffentlichung das Polynom mit a0xn + a1xn − 1 + ... + an angesetzt.